EPISODIO X: pensare in molte dimensioni

Ben ritrovati, viaggiatori! Dopo una lunga pausa torna la rubrica dedicata ai viaggi nel tempo, una guida completa in quattro dimensioni tra fantascienza e realtà che illustra, passo dopo passo, gli strumenti che l’Universo ci offre per modificare lo scorrere degli eventi.

Abbiamo affrontato i principi della relatività ristretta, interfacciandoci con un nuovo modo di osservare i fenomeni naturali che cambia totalmente la percezione dello spazio e del tempo: queste quantità non possono più essere interpretate come due elementi distinti l’uno dall’altro ed esterni all’universo. Spazio e tempo sono proprietà del cosmo; sono nati con esso e dunque hanno senso solo all’interno dell’universo. Ecco perché alcune domande che spesso ci poniamo, quali “cosa c’è fuori dal cosmo”, oppure “cosa è avvenuto prima del Big Bang?”, non hanno assolutamente senso. Fuori dall’universo non esiste un “fuori”, non c’è lo spazio! E prima dell’universo… beh, non c’era il tempo, quindi un “prima” non può essere definito. Lo so, manda fuori di testa, ma con gli anni ci si abitua.

A questo punto, se volessimo spiegare in modo concreto cosa siano lo spazio e il tempo, quale sarebbe la definizione più appropriata? È proprio la teoria della relatività di Einstein a venirci in aiuto, mostrando che spazio e tempo sono due aspetti di un singolo concetto più generale: la trama di base dell’universo, un’entità apparentemente astratta che con grande fantasia è stata chiamata spaziotempo. Possiamo tentare di visualizzare fisicamente questa nozione come una griglia, un tessuto intrecciato che si estende in ogni punto del cosmo e che rappresenta la sua “struttura portante”. Un po’ come le ossa all’interno del nostro corpo, lo spaziotempo definisce le fondamenta della realtà; un dettaglio di certo non trascurabile è che per capire davvero con cosa abbiamo a che fare dobbiamo imparare a pensare… “quadridimensionalmente”.

Lo spaziotempo, infatti, è costituito dalle solite tre dimensioni spaziali (lunghezza, altezza e profondità) alle quali dobbiamo però aggiungere anche la dimensione temporale. Nella griglia, parlare di spazio e tempo è assolutamente equivalente; i due concetti non possono essere separati, anzi, in alcuni casi – che saranno di grande interesse per la nostra guida al viaggio nel tempo – le coordinate spaziali e quella temporale letteralmente si “scambiano i ruoli” per dare luogo ad effetti davvero peculiari. Ci arriveremo, per il momento però niente spoiler.

In generale, potrei perfino misurare il tempo in metri e lo spazio in secondi. La prossima volta che andate all’IKEA, ordinate un tavolo di 4 nanosecondi: oltre ad essere totalmente corretto, la faccia sconvolta del commesso/a non avrebbe prezzo.

Tirando le somme, dunque, un evento qualsiasi nel cosmo può essere identificato da un sistema di quattro coordinate ed è rappresentabile come un punto nello spaziotempo.  Riuscire ad immaginare o addirittura a disegnare quattro dimensioni potrebbe darci qualche problemino (soprattutto per chi, come me, ha già difficoltà a disegnare un cubo senza farlo sembrare uno sgorbio venuto male); ecco perché gli strumenti matematici sono essenziali per poter familiarizzare davvero con questi concetti. Soprattutto perché la matematica non ha riguardo per quanto una persona possa (o voglia) essere masochista complicandosi la vita e aggiungendo un numero arbitrario di dimensioni nei conti. Penso solo alla teoria delle stringhe, dove oscilliamo tra le 11 e le 26 dimensioni. Favoloso.

Dal punto di vista concettuale però, le nozioni matematiche di cui abbiamo bisogno non sono particolarmente complesse… in realtà si tratta solo di “generalizzare” le stesse regole che valgono nelle comode tre dimensioni e applicarle in modo diverso. Prendiamo come esempio la nozione di distanza: definire quanto siano lontani 2 punti nello spazio equivale a stabilire quanti “passi” unitari sia necessario compiere in ciascuna delle tre direzioni per arrivare dal primo punto al secondo.  Pensate di essere seduti sul divano e di voler prendere un oggetto che si trova sopra al tavolo davanti a voi. Dopo esservi alzati, dovrete compiere un certo numero di passi, poi alzare il braccio all’altezza del tavolo per afferrare l’oggetto. La distanza effettiva dal divano all’oggetto può essere calcolata tramite il teorema di Pitagora:

dove  l è la distanza (orizzontale) tra il divano e il tavolo mentre h rappresenta l’altezza di quest’ultimo. Se adesso però il tavolo fosse “spostato” verso destra, oltre ai movimenti prima descritti dovrete aggiungere alcuni passi a lato. La nuova distanza si calcolerebbe ancora mediante il teorema di Pitagora, questa volta però è necessario aggiungere un pezzo in più:

con z il numero di passi (o metri) compiuti verso destra. Uno spazio dove le distanze si possono definire con il teorema di Pitagora viene chiamato spazio euclideo. Da notare che nel calcolo della distanza ciascuna dimensione ha la stessa “rilevanza”. Se ponessi un qualsiasi oggetto ad un metro da me, non importa in quale direzione lo abbia piazzato: destra, sinistra, alto, basso, avanti o indietro. Per poterlo raggiungere dovrò sempre percorrere un metro.

Possiamo però provare a immaginare qualcosa di diverso. Possiamo creare, con la fantasia, uno spazio in cui una dimensione sia più “rilevante” delle altre, ad esempio la lunghezza. Supponiamo che nella formula di Pitagora, la lunghezza conti 2 volte, dando luogo ad un’equazione di questo tipo:

 (poiché nella formula l compare al quadrato, il fattore 2 diventa un 4). A questo punto, dire “un oggetto a un metro di distanza” sarà un affermazione dipendente dalla direzione verso cui l’oggetto si trova. Più in dettaglio, se ci muovessimo lungo la dimensione “privilegiata” l, scopriremmo che i nostri passi conterebbero il doppio. Dopo aver percorso solamente 50 cm, ci accorgeremmo che la distanza complessiva sarebbe comunque di un metro!

Questa cosa sembra essere totalmente irrazionale paragonata alla nostra esperienza, semplicemente perché siamo abituati a pensare secondo le regole degli spazi euclidei. Modificare il “peso” di ciascuna dimensione rispetto alle altre vuol dire deformare la struttura geometrica del nostro spazio, cambiarne le regole e la logica: in termini tecnici, generare una curvatura. In due dimensioni è facile da immaginare: un foglio che viene piegato si incurva, modificando la sua geometria.  Uno spazio in cui ogni dimensione ha la stessa rilevanza viene genericamente chiamato piatto, in analogia con il nostro concetto di “superficie piatta” bidimensionale (come il foglio prima di essere incurvato).

Da notare come queste definizioni sono slegate dal numero di dimensioni in gioco: sebbene la nostra mente non riesca ad immaginare spazi a quattro, cinque o qualsivoglia dimensioni, la matematica ci permette di estendere i concetti in modo piuttosto semplice. Per esempio, la distanza in uno spazio euclideo a quattro dimensioni sarà calcolabile aggiungendo un altro termine alla somma del teorema di Pitagora, mentre per 10 dimensioni serviranno altrettanti termini.

Anche nello spaziotempo, il tessuto base della realtà, è dunque possibile definire una distanza quadridimensionale come somma di quattro termini, uno temporale e tre spaziali. Tuttavia, in questo caso le cose sono leggermente diverse e meritano una discussione a parte: il tempo infatti, nonostante l’analogia con le altre dimensioni, vuole mantenere una certa “indipendenza”, vuole tentare di distinguersi. Questo crea delle conseguenze fondamentali nella struttura e nelle leggi che regolano il cosmo; per scoprire a cosa ci stiamo riferendo, non perdetevi il prossimo appuntamento con Time Travellers!

Credits Immagine di copertina: T. Pyle/Caltech/MIT/LIGO Lab

Lorenzo Pizzuti

Sono ricercatore di Astrofisica e Cosmologia presso l’Università di Milano Bicocca. Da più di tre anni svolgo eventi di divulgazione in giro per l’Italia e non solo. Autore di tre libri divulgativi, collaboro tuttora con diverse associazioni, Università ed istituti di ricerca per la diffusione della conoscenza scientifica alla comunità. Nella mia visione, la scienza è una forma d’arte in grado di deliziare, intrattenere e divertire permettendoci in aggiunta di imparare qualcosa di nuovo e sorprendente.